Monte-Carlo-Methode

Mon|te-Cạr|lo-Me|tho|de, die (Statistik):

Verfahren der Statistik, bei dem komplexe Problemstellungen nicht vollständig durchgerechnet, sondern nur mit Zufallszahlen exemplarisch durchgespielt werden.

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I

Monte-Carlo-Methode,

 

statistische Methode, mit der das Verhalten dynamischer Systeme untersucht werden kann, ohne dass genaue Eingabedaten bekannt sein müssen.

 

Um die Monte-Carlo-Methode einsetzen zu können, benötigt man detaillierte Kenntnisse über das Verhalten eines Systems, i. d. R. also ein mathematisches Modell. Aus diesem wird ein statistisches Modell entwickelt, sodass für einen Eingabewert Vorhersagen über die Ergebnisse möglich sind. Dieses statistische Modell wird nun mit vielen Zufallszahlen untersucht, die - in Abhängigkeit von dem zugrunde liegenden Modell - einer bestimmten statistischen Verteilungsfunktion folgen. Beispiele hierfür sind Gleichverteilungen, bei denen alle Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, oder die glockenförmige Gauß-Verteilung. Zusammen mit dem Modell erhält man so Ergebnisse, die ebenfalls durch eine - nicht unbedingt dieselbe - Verteilungsfunktion gekennzeichnet sind. Der Vergleich der Eingabedaten und der Ergebnisse erlaubt nun Rückschlüsse auf das Verhalten des untersuchten Systems und auf die Qualität des mathematischen Modells.

 

Monte-Carlo-Methoden werden in fast allen naturwissenschaftlichen und technischen Bereichen eingesetzt. Man findet sie sehr häufig in der Molekülchemie (z. B. beim Moleküldesign), der Thermodynamik oder der Astronomie, also überall dort, wo man Systeme vieler Teilchen untersuchen muss. Sie eignen sich bei geringeren Teilchenzahlen auch für Optimierungsprobleme der Informatik, sofern man anhand der Resultate direkt und programmgesteuert das Verhalten des zugrunde liegenden Problems ändern kann.

 

Ein häufig genanntes Beispiel für Monte-Carlo-Methoden ist die Berechnung der Zahl Pi aus dem Vergleich von zufällig gebildeten Punktepaaren innerhalb eines Quadrats mit der Kantenlänge Eins und eines Viertelkreises mit dem Radius Eins, dessen Ursprung in einem Eckpunkt des Quadrats liegt. Aus zwei gleich verteilten Zufallsfolgen bildet man zufällige Paare, die man geometrisch als Punkte innerhalb dieser Region auffassen kann. Vergleicht man nun die Zahl der Punkte im Viertelkreis mit allen Punkten in dem Quadrat, lässt sich aus dem mathematischen Modell (die Kreisformel) schnell die Zahl Pi bestimmen.

 

Obwohl die theoretischen Grundlagen bereits älter sind, wurden die Rechenmethoden erst während der frühen 1940er-Jahre von John von Neumann und seinen Mitarbeitern entwickelt. Der Name wird auf die Spielbank in Monte Carlo zurückgeführt, da man die statistischen Methoden, die der Monte-Carlo-Theorie zugrunde liegen, auch im Bereich der Spieltheorie wieder findet. Die Resultate der Roulettetische sollen auch die ersten Zufallszahlen gewesen sein, die man für die Methode eingesetzt hat.

 

II

Mọnte-Cạrlo-Methode,

 

Mọnte-Cạrlo-Simulation, Methode der stochastischen Simulation, bei der komplexe Problemstellungen nicht vollständig durchgerechnet, sondern mithilfe von Zufallszahlen simuliert werden;. Die Monte-Carlo-Methode wird zur näherungsweisen Berechnung sowohl deterministischer (z. B. die Nullstellen eines Polynoms, nicht explizit berechenbare Integrale) als auch stochastische Größen (z. B. Verteilungen von Wartezeiten in komplexen Bediensystemen) angewendet. Bei beiden Fragestellungen besteht das Prinzip darin, die zu berechnende Größe als Erwartungswert E (Y) einer Zufallsvariablen Y darzustellen und dann E (Y) aufgrund einer experimentell (meist mit Generatoren von Zufallszahlen) gewonnenen Stichprobe zu schätzen. - Eine der ersten Anwendungen der Monte-Carlo-Methode war die Simulation des buffonschen Nadelproblems und, damit verbunden, die Bestimmung von Näherungswerten für die Zahl Pi.